Lösung: Meisterliche Mathematiker
Sei a das Produkt m × n und sei b die Summe m + n.
Aus der ersten Aussage (X: "Ich habe keine Ahnung was deine Summe ist, Y.") folgt, dass a auf mehr als eine Weise in Faktoren zerlegt worden kann. Wenn X zum Beispiel die Zahl 21 hätte, was das Produkt ist von den Primzahlen 3 und 7, dann würde er gleich wissen, dass Y nur 3+7=10 als Summe haben konnte.
Aus der zweiten Aussage (Y: "Du erzählst mich nichts Neues. Ich habe schon gewusst, dass du das nicht wusstest.") folgt, dass b sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Das bedeutet auch dass b nicht gerade ist, weil eine gerade Zahl sich immer als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Wenn zum Beispiel Y die Zahl 10 hätte, welche sich darstellen lässt als 2+8, 3+7, 4+6 oder 5+5, dann hätte Y sich nicht sicher sein können, dass X seine Summe nicht herausfinden konnte, weil X vielleicht die Zahl 3×7=21 haben könnte und sofort die Zahl von Y herausfinden könnte.
Es bleibt also nur eine beschränkte Anzahl Möglichkeiten übrig für die Zahl b die Y bekommen hat: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 (für all diese Zahlen gilt dass wenn man 2 davon abzieht, eine Nicht-Primzahl übrig bleibt; alle gerade Zahlen machen nicht mit, und alle ungerade Zahlen welche man schreiben kann als eine Primzahl plus 2 machen auch nicht mir). X weißt also, dass Y eine dieser Zahlen hat. Es gibt 659 Kombinationen von m und n womit diese Zahlen als Summe hergestellt werden können. Zu allen diesen Kombinationen gehören natürlich Produkte.
Beispielsweise haben wir hier die Fälle b=11 und b=17 ausgearbeitet. Wir nehmen bequemlichkeitshalber an, dass m kleiner ist als n:
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Aus der dritten Aussage (X: "Aha! Aber jetzt kenne ich deine Summe, Y!") konkludieren wir, dass die Zahl a die X hat, offenbar nur bei einem Wert für b vorkommt. Zum Beispiel, wenn X die Zahl 30 hätte, dann könnte er nicht herausfinden ob Y die Zahl 11 oder 17 hat. Wie man oben sehen kann, kommt der Wert a=30 nämlich sowohl bei b=11 als bei b=17 vor (sowohl 5×6 als 2×15 ist gleich 30). Für die Fälle b=11 und b=17 kommt der Wert 30 für a also nicht in Frage. Für die Fälle b=17 kommen auch die folgenden Werte für a nicht in Frage:
- 42 (auch 2×21=42 und 2+21=23 kommt vor in der Reihe der mögliche Werte für b),
- 60 (auch 3×20=60 und 3+20=23 kommt vor in der Reihe der mögliche Werte für b),
- 66 (auch 2×33=66 und 2+33=35 kommt vor in der Reihe der mögliche Werte für b),
- 70 (auch 2×35=70 und 2+35=37 kommt vor in der Reihe der mögliche Werte für b),
- 72 (auch 3×24=72 und 3+24=27 kommt vor in der Reihe der mögliche Werte für b).
Insgesamt bleiben von den 659 Produkten bei allen möglichen Werten für b, nur 336 Produkte übrig welche nur einmal vorkommen. Für die Fälle b=11 und b=17 bleiben die folgenden Möglichkeiten übrig:
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Aus der vierten Aussage (Y: "Und jetzt kenne ich auch dein Produkt, X!") konkludieren wir, dass bei der Zahl b welche Y hat, offenbar nur ein Wert für a möglich ist. Wenn X zum Beispiel die Zahl 24 hätte, dann könnte X zwar bestimmen, dass Y die Zahl 11 hat, aber könnte Y nicht bestimmen ob X die Zahl 18, 24 oder 28 hat. Wie man oben sehen kann, kommt bei b=17 nur ein mögliche Wert für a vor. Es stellt sich heraus, dass dieser Wert auch der einziger Wert für b ist wofür das gilt.
Konklusion: die ausgewählten Zahlen m und n sind 4 und 13.
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