Lösung: Quadrate Zerschneiden

Angenommen, die drei quadratischen Platten haben Seitenlängen von p, q und r cm, angeordnet von klein nach groß. Die Platte mit der Seite p liefert (p − 2)² unlackierte Würfel. Der Rest der insgesamt p² Würfel ist teilweise lackiert. Das bedeutet, dass die Anzahl der teilweise lackierten Würfel gleich p² - (p − 2)² ist, was vereinfacht werden kann zu:

p² − (p² − 4p + 4) = 4p − 4.

Das gilt auch für die anderen beiden Platten. Daher müssen wir eine Lösung für die folgende Gleichung finden:

(p − 2)² + (q − 2)² + (r − 2)² = (4p − 4) + (4q − 4) + (4r − 4).

Das können wir umschreiben zu: (p − 4)² + (q − 4)² + (r − 4)² = 24.

Da p, q und r ganze Zahlen sind, bedeutet dies, dass die Summe von drei ganzen Quadraten zusammen 24 ergeben muss. Die einzigen ganzen Quadrate unter 24 sind 0, 1, 4, 9 und 16. Es gibt nur eine Möglichkeit, mit der Summe von drei dieser Quadrate 24 zu erreichen: 4 + 4 + 16 = 24. Da p, q und r unterschiedlich sind, bedeutet dies, dass diese Quadrate wie folgt gebildet werden müssen: (-2)² + 2² + 4² = 24.

Daraus folgt, dass (p - 4) = -2, (q - 4) = 2 und (r - 4) = 4. Das führt zu den Werten p = 2, q = 6 und r = 8.

Die Seiten der Platten waren also 2, 6 und 8 cm.

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