Antwoord op: Wetende Wiskundigen
Laat a gelijk zijn aan m × n en b gelijk zijn aan m + n.
Uit de eerste opmerking (X: "Ik heb geen idee wat jouw som is, Y.") volgt dat a op meer dan één manier te ontbinden is in factoren. Als X bijvoorbeeld het getal 21 zou hebben, wat het product is van de priemgetallen 3 en 7, dan zou hij immers meteen weten dat Y alleen 3+7=10 als som kan hebben.
Uit de tweede opmerking (Y: "Je vertelt me niks nieuws. Ik wist al dat je dat niet wist.") volgt dat b niet als de som van twee priemgetallen geschreven kan worden. Dat impliceert onder meer dat b niet even is, want een even getal kan altijd als de som van twee priemgetallen worden geschreven. Als Y bijvoorbeeld het getal 10 zou hebben, wat gelijk is aan 2+8, 3+7, 4+6 of 5+5, dan had Y er immers niet zeker van kunnen zijn dat X zijn som niet kon bepalen, omdat X wellicht het getal 3×7=21 zou kunnen hebben en meteen Y's getal had kunnen bepalen.
Dus blijft er nog maar een beperkt aantal mogelijkheden over voor het getal b dat Y heeft gekregen: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97 (voor al deze getallen geldt dat als je er 2 van aftrekt er een niet-priemgetal overblijft; alle even getallen vallen immers al af, en alle oneven getallen die je wel kunt schrijven als een priemgetal plus 2 vallen ook af). X weet dan dus dat Y één van deze getallen heeft. Er zijn 659 combinaties van m en n waarmee deze getallen als som kunnen worden samengesteld. Bij al deze combinaties horen uiteraard producten.
Als voorbeeld staan hieronder de gevallen b=11 en b=17 uitgewerkt. We veronderstellen voor het gemak even dat m kleiner is dan n:
|
|
Uit de derde opmerking (X: "Aha! Maar dan weet ik wat jouw som moet zijn, Y!") kunnen we concluderen dat het getal a dat X heeft blijkbaar maar bij één waarde voor b voorkomt. Want als X bijvoorbeeld het getal 30 zou hebben, dan zou hij niet kunnen bepalen of Y het getal 11 of 17 heeft. Zoals hierboven te zien is, komt de waarde a=30 namelijk zowel bij b=11 als bij b=17 voor (zowel 5×6 als 2×15 is gelijk aan 30).
Voor de gevallen b=11 en b=17 valt de waarde 30 voor a dus af. Voor het geval b=17 vallen ook de volgende waardes voor a af:
- 42 (ook 2×21=42 en 2+21=23 komt voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 60 (ook 3×20=60 en 3+20=23 komt voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 66 (ook 2×33=66 en 2+33=35 komt voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 70 (ook 2×35=70 en 2+35=37 komt voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b),
- 72 (ook 3×24=72 en 3+24=27 komt voor in het rijtje van mogelijke waardes voor b).
In totaal blijven er van de 659 producten bij alle mogelijke waardes voor b slechts 336 producten over die maar één keer voorkomen. Voor de gevallen b=11 en b=17 blijven de volgende mogelijkheden over:
|
|
Uit de vierde opmerking (Y: "En nu weet ik ook wat jouw product is, X!") kunnen we concluderen dat bij het getal b dat Y heeft blijkbaar maar één waarde voor a mogelijk is. Als X bijvoorbeeld het getal 24 zou hebben, dan zou X wel kunnen bepalen dat Y het getal 11 heeft, maar zou Y niet kunnen bepalen of X het getal 18, 24 of 28 heeft. Zoals hierboven te zien is, komt bij b=17 maar één mogelijke a voor. Dit blijkt ook de enige waarde voor b te zijn waarvoor dit geldt.
Conclusie: de gezochte getallen m en n zijn 4 en 13.
Terug naar de puzzel